Thi vào 10 chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2012

Ngày thứ nhất
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1. Cho biểu thức

\displaystyle P=\left( \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}+\frac{a-b}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}-a+b} \right).\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}

với \displaystyle a>b>0.

1. Rút gọn \displaystyle P
2. Biết \displaystyle a-b=1.. Tìm giá trị nhỏ nhất của \displaystyle P.

Câu 2. Trên quãng đường \displaystyle AB dài  km, tại cùng một thời điểm, một xe máy khởi hành từ \displaystyle A đi về \displaystyle B và một ô tô khởi hành từ \displaystyle B đi về \displaystyle A. Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp  giờ nữa thì đến \displaystyle A và ô tô đi tiếp  giờ  phút nữa thì đến \displaystyle A. Biết rằng xe máy và ô tô không thay đổi vận tốc trên suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô.

Câu 3. Trên mặt phẳng tọa độ \displaystyle xOy, cho parabol \displaystyle (P):y=-{{x}^{2}} và đường thẳng \displaystyle (d):y=mx-m-2 (\displaystyle m là tham số).

1. Chứng minh rằng khi \displaystyle m thay đổi, \displaystyle (d) luôn cắt \displaystyle (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}..

2. Tìm \displaystyle m để \displaystyle \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\sqrt{20}..

Câu 4. Cho tam giác \displaystyle ABC.. Đường tròn \displaystyle (\omega ) có tâm  và tiếp xúc với các đoạn thẳng \displaystyle AB,AC tương ứng tại \displaystyle K,L. Tiếp tuyến \displaystyle (d) của đường tròn \displaystyle (\omega ) tại điểm \displaystyle E thuộc cung nhỏ \displaystyle KL, cắt các đường thẳng \displaystyle AL,AK tương ứng tại \displaystyle M,N.. Đường thẳng  cắt  tại  và cắt  tại \displaystyle Q.

1. Chứng minh rằng \displaystyle \widehat{MON}={{90}^{0}}-\frac{1}{2}\widehat{BAC}

2. Chứng minh rằng các đường thẳng \displaystyle MQ,NP,OE cùng đi qua một điểm.

3. Chứng minh \displaystyle KQ.PL=EM.EN

Câu 5. Cho các số thực dương \displaystyle x,y thõa mãn điều kiện \displaystyle \sqrt{xy}(x-y)=x+y.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \displaystyle P=x+y.

Ngày thứ hai
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1. Giải phương trình

\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}+2x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x-1}}+2{{x}^{2}}+4x-4=0

Câu 2

1. Cho các số \displaystyle a,b,c đôi một phân biệt và thỏa mãn \displaystyle {{a}^{2}}(b+c)={{b}^{2}}(a+c)=2012. Tính giá trị của biểu thức \displaystyle M={{c}^{2}}(a+b)

2. Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số dương trong chúng không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong 5 số đó tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương.

Câu 3

Cho nó số thực x_1 , x_2 ,...., x_n với n\geq 3. Ký hiệu \displaystyle \max \{{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\} là số lớn nhất trong các số x_{1},x_{2},...,x_n. Chứng minh rằng
\max \{ x_{1},x_{2},...,x_n \} \geq \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}+\frac{\left |x_{1}-x_{2} \right |+\left | x_{2}- x_{3} \right |+....+\left | x_{n-1}-x_{n} \right |+\left | x_{n}-x_{1} \right |}{2n}

Câu 4
Trong một lớp học có 36 bàn học cá nhân, được xếp thành 4 hàng và 9 cột (các hàng được đánh số từ 1 đến 1, các cột được đánh số từ 1 đến 9 ). Sĩ số học sinh của lớp là 35. Sau một học kỳ, cô giáo chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi cho các bạn học sinh trong lớp. Đối với mỗi học sinh của lớp, giả sử trước khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng thứ m, cột thứ n và sau khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng a_m, cột thứ a_n, ta gắn cho bạn đó số nguyên (a_{m} + a_n ) - (m+n). Chứng minh tổng của 35 số nguyên gắn với 35 bạn học sinh không vượt quá 11.

Câu 5

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn \left ( O \right ). Điểm M thuộc cung nhỏ CD của  \left ( O \right ), M khác C và D. MA cắt DB, DC theo thứ tự tại X ,Z ; MB cắt CA, CD tại Y,T; CX cắt DY tại K.

1. Chứng minh \displaystyle \widehat{MXT}=\widehat{TXC},\widehat{MYZ}=\widehat{ZYD},\widehat{CKD}={{135}^{0}}.

2. Chứng minh \displaystyle \frac{KX}{MX}+\frac{KY}{MY}+\frac{ZT}{CD}=1

3. Gọi I là giao điểm của MK và CD. Chứng minh XT, YZ, OI cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT.

Download day 1 bản Latex

Download day 2 bản Latex

This entry was posted in Đề Luyện Thi Vào 10. Bookmark the permalink.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s