Thi vào 10 chuyên Quốc Học Huế năm 2012

Ngày thứ nhất
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 (3.0 điểm)

1. Tính giá trị của biểu thức \displaystyle A=\frac{{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+18x+25}{{{x}^{2}}-8x+15} khi \displaystyle x=\sqrt{19-8\sqrt{3}}.

2. Giải phương trình \displaystyle {{x}^{2}}-\sqrt{x+12}=12.

3. Giải hệ phương trình

Câu 2 (1.5 điểm)

Cho \displaystyle a,b,a+b khác \displaystyle 0\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1;\frac{{{x}^{4}}}{a}+\frac{{{y}^{4}}}{b}=\frac{1}{a+b}.

1. Chứng minh rằng \displaystyle a{{y}^{2}}=b{{x}^{2}}

2. Chứng minh rằng \displaystyle \frac{{{x}^{2012}}}{{{a}^{1006}}}+\frac{{{y}^{2012}}}{{{b}^{1006}}}=\frac{2}{{{(a+b)}^{2006}}}

Câu 3 (1.5 điểm)

Cho \displaystyle k là tham số, sao cho phương trình

\displaystyle (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=k

có bốn nghiệm \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}\ne 0. Tính giá trị biểu thức sau theo \displaystyle k

\displaystyle P=\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}+\frac{1}{{{x}_{3}}}+\frac{1}{{{x}_{4}}}.

Câu 4 (3.0 điểm)

Cho đường tròn (O) có đường kính BC cố định. Lấy điểm A tùy ý trên (O), (A khác B và C). Vẽ đường cao AH của tam giác. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác \displaystyle ABC,HAB,HAC.

1. Chứng minh \displaystyle AI\bot JK

2. Chứng minh tứ giác \displaystyle BCJK nội tiếp được một đường tròn.

3. Khi A di động trên (O) thì I chạy trên đường nào. Nêu cách vẽ đường này.

Câu 5 (1.0 điểm)

Tìm các số nguyên dương \displaystyle n để \displaystyle Q={{n}^{2}}-19n+19 là một số chính phương.

Ngày thứ hai
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1 (2.0 điểm) Giải hệ phương trình

Câu 2 (2.0 điểm) Cho các số thực \displaystyle u,v thỏa mãn

\displaystyle \left( u+\sqrt{{{u}^{2}}+2} \right)\left( v-1+\sqrt{{{v}^{2}}-2v+3} \right)=2

Chứng minh rằng \displaystyle {{u}^{3}}+{{v}^{3}}+3uv=1.

Câu 3 (2.0 điểm) Cho đường tròn \displaystyle (O)\displaystyle (O') cắt nhau tại A và B sao cho đoạn thẳng OO’ cắt đường thẳng AB. Đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại C, tiếp xúc với (O’) tại D và sao cho khoảng cách từ A đến d lớn hơn khoảng cách từ B đến d. Đường thẳng qua A song song với d cắt (O) thêm điểm E và cắt (O’) thêm điểm F. Tia EC cắt tia FD tại G. Đường thẳng EF cắt các tia CB và DB lần lượt tại H và K.

1. Chứng minh tứ giác BCGD nội tiếp

2. Chứng minh tam giác GHK cân

Câu 4 (2.0 điểm)

1. Tìm các số nguyên dương lẻ \displaystyle x,y,z thỏa mãn

\displaystyle x<y<z\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}

2. Chứng minh tồn tại 2013 số nguyên dương \displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{2013}} sao cho

\displaystyle {{a}_{1}}<{{a}_{2}}<...<{{a}_{2013}}\displaystyle \frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+...+\frac{1}{{{a}_{2013}}}=1

Câu 5 (2.0 điểm)

1. Chứng minh rằng diện tích của những tứ giác có các đỉnh nằm trong hoặc trên một đường tròn bán kính \displaystyle R luôn nhỏ hơn hoặc bằng \displaystyle 2{{R}^{2}}.

2. Cho \displaystyle x,y là các số dương có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\displaystyle T=\frac{{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}}{2x{{y}^{2}}-{{x}^{2}}{{y}^{3}}}

This entry was posted in Đề Luyện Thi Vào 10. Bookmark the permalink.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s