Thi vào 10 chuyên ĐHQG TP. Hồ Chí Minh năm 2012

Ngày thứ nhất Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1
Cho \displaystyle {{x}^{3}}-4x\sqrt{x}+m+1=0  (1)
1. Giải phương trình khi m=-33
2. Tìm m để phưong trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt x_1,x_2 thỏa x_1^{6}+x_2^{6}=82

Câu 2
1. Giải phương trình \displaystyle \sqrt{2x+7}-\sqrt{-3x-5}=1
2. Giải hệ phương trình

\begin{cases} x^2-2xy=1-2\sqrt{5}  \\ xy-\frac{y^2}{10}=\sqrt{5}-\frac{1}{2} \end{cases}

Câu 3                                                                                                             

1. Rút gọn \displaystyle T=\frac{2\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}+2\sqrt{a}-\sqrt{b}-2}-\frac{2-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+2\sqrt{a}+\sqrt{b}+2}
Tìm giá trị lớn nhất của T với a là số tự nhiên
2. Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết tổng 3 tích của từng cặp số khác nhau của chúng là 1727

Câu 4
Tổng kết học kỳ 2, 1 trường THCS có 60 học sinh không đạt học sinh giỏi, trong đó có 6 em từng đạt học sinh giỏi học kì 1, số học sinh giỏi của học kì 2 bằng \frac{40}{37} số học sinh giỏi của học kì 1 và có 8% số học sinh của trường không đạt học sinh giỏi HK1 nhưng đạt học sinh giỏi HK2. Tìm số học sinh giỏi HK2 của trường biết số học sinh của trường không thay đổi trong suốt năm học

Câu 5
Cho hình thang ABCD (AB//CD) nội tiếp (C) tâm O, bán kính R và có \widehat{DAB}=105, \widehat{ACD}=30
1. Tính \frac{DB}{DC} và tính AB theo R
2. Tiếp tuyến của (C) tại B cắt DO, DA lần lượt tại M, N. Tính \frac{MN}{MD}
3. Gọi E là trung điểm của AB, tia DE cắt MN tại F. Tính \frac{BF}{BC}

Ngày thứ hai  
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1
1. Giải hệ phương trình\begin{cases} (x-y)^2=2z-z^2 \\ (y-z)^2=2x-x^2 \\ (z-x)^2=2y-y^2\end{cases} 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. M và N là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh AB và BC sao cho \frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CB}=x với 0<x<1. Các đường thẳng qua M,N song song với BD lần lượt cắt AD tại Q và CD tại P. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo \displaystyle ax và tìm \displaystyle x sao cho diện tích này lớn nhất.

Câu 2. Số nguyên dương $n$ được gọi là số điều hòa nếu như tổng các bình phương của các ước dương của nó (kể cả 1 và n) đúng bằng (n+3)^2.
1. Chứng minh rằng số 287 là số điều hòa.
2. Chứng minh rằng số n=p^3 (p nguyên tố) không phải là số điều hòa.
3. Chứng minh rằng nếu số n=pq (\displaystyle p,q là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hòa thì n+2 là số chính phương.

Câu 3
1. Tìm giá trị x\in R thỏa mãn x^2-5x+4+2\sqrt{x-1}\geq 0
2. Chứng minh rằng với các số không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Ta có bất đẳng thức \displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ac

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đường thẳng vuông góc với AB tại B ta lấy điểm D di động cùng phía với C đối với đường thẳng AB.
1. Chứng minh rằng nếu AC+BD<CD thì trên cạnh AB tồn tại hai điểm M,N sao cho \widehat{CMD}=\widehat{CND}=90^0
2. Giả sử điều kiện trên được thỏa mãn. Đường thẳng qua A song song với MD cắt đường thẳng qua B song song với MC tại E. Chứng minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5. Cho đa giác đều n cạnh. Dùng 3 màu xanh,đỏ, vàng tô màu các đỉnh đa giác một cách tùy ý (mỗi đỉnh được tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều được tô màu). Cho phép thực hiện thao tác sau đây: chọn hai đỉnh kề nhau bất kì (nghĩa là hai đỉnh liên tiếp) khác màu và thay màu của hai đỉnh đó bằng màu còn lại.
1. Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luôn luôn làm cho các đỉnh đa giác chỉ còn được tô bởi hai màu.
2. Chứng minh rằng với n=4n=8, bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta có thể làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi một màu.

This entry was posted in Đề Luyện Thi Vào 10. Bookmark the permalink.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s