Giả thuyết abc có thể đã được chứng minh

Nếu đó là sự thật, việc chứng minh được giả thuyết abc về số nguyên sẽ là một thành tích đáng kinh ngạc.

 Thế giới toán học vốn thường yên tĩnh đã trở lên sôi động khi có tuyên bố rằng một trong những vấn đề quan trọng nhất trong lý thuyết số đã được giải quyết.

alt

Nhà toán học Shinichi Mochizuki của ĐH Kyoto, Nhật Bản đã công bố một chứng minh dài 500 trang cho giả thuyết abc, trong đó đề xuất một mối quan hệ giữa các số nguyên – một vấn đề Diophantine

  alt

Shinichi Mochizuki

Giả thuyết abc, đề xuất độc lập bởi David Masser và Joseph Oesterle vào năm 1985, có thể nó không được quen thuộc với thế giới như Định lý Fermat lớn, nhưng trong một số cách, nó còn quan trọng hơn. “Giả thuyết abc, nếu chứng minh là đúng, tại một trong những đột phá giải quyết nhiều vấn đề Diophantine nổi tiếng, bao gồm cả Định lý Fermat lớn,” Dorian Goldfeld, một nhà toán học tại Đại học Columbia ở New York nói. “Nếu chứng minh của Mochizuki là chính xác, nó sẽ là một trong những thành tựu đáng kinh ngạc nhất của toán học của thế kỷ 21.”

Giống như Định lý Fermat lớn, giả thuyết abc đề cập đến phương trình có dạng a+b=c. Nó liên quan đến các khái niệm về số không chính phương: số không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nào. 15 và 17 là những số không chính phương, nhưng 16 và 18 thì không phải vì chúng tương ứng chia hết cho 42 và 32.

Ta gọi Nhân tử không chính phương của số n, kí hiệu là sqp(n), là số không chính phương lớn nhất có thể được tạo thành bằng cách nhân các ước nguyên tố của n. Ví dụ, sqp(18)=2×3=6

Khi đó ta có phỏng đoán abc. Nó liên quan đến một tính chất của tích ba số nguyên a×b × c, hay abc – hoặc cụ thể hơn, nhân tử không chính phương của tích này, trong đó bao gồm cả các thừa số nguyên tố phân biệt. Giả thuyết nói rằng: nếu a+b=c thì tỷ số sqp(abc)rc luôn luôn có một số giá trị dương nhỏ nhất với bất kì r>1. Ví dụ, nếu a=3;b=125, thì c=128, khi đó sqp(abc)=30 và sqp(abc)2c=900128. Trong trường hợp này, r=2,sqp(abc)rc là gần như luôn luôn lớn hơn 1, và luôn luôn lớn hơn không.

Sự kết nối
Có thể chỉ ra rằng giả thuyết này bao gồm nhiều vấn đề Diophantine khác, cả Định lý Fermat lớn (trong đó nêu rằng an+bn=cn không có nghiệm là số nguyên nếu n>2). Giống như nhiều vấn đề Diophantine, nó là tất cả về mối quan hệ giữa các số nguyên tố. Theo Brian Conrad của Đại học Stanford ở California, “nó mã hóa kết nối sâu sắc giữa những thừa số nguyên tố của a,b,a+b”.

Nhiều nhà toán học đã  nỗ lực cố gắng để chứng minh giả thuyết. Trong năm 2007, nhà toán học Pháp Lucien Szpiro, mà công việc của ông vào năm 1978 đã dẫn đến những phỏng đoán abc và đã là người đầu tiên tuyên bố chứng minh được nó, nhưng sau đó đã sớm tìm thấy có những thiếu sót.

Giống như Szpiro, và cũng giống như nhà toán học người Anh Andrew Wiles, người đã chứng minh Định lý sau cùng của Fermat vào năm 1994, Mochizuki đã tấn công các vấn đề bằng cách sử dụng lý thuyết của các đường cong elliptic mịn đường cong được tạo ra bởi các mối quan hệ đại số của các loại y2=x3+ax+b.

Tuy nhiên, công việc của Mochizuki cho những nỗ lực trước đó dừng lại. Ông đã phát triển kỹ thuật mà rất ít nhà toán học hoàn toàn hiểu được và gọi là ‘đối tượng’ toán học mới  – các thực thể trừu tượng tương tự như (ví dụ quen thuộc hơn) đối tượng hình học, tập hợp, hoán vị, tôpo và ma trận. “Tại thời điểm này, ông ấy có lẽ là người duy nhất biết tất cả”, ông Goldfeld nói.

Conrad nói rằng công việc “sử dụng một số lượng lớn những kiến thức sẽ mất một thời gian dài để được cộng đồng am hiểu“. Chứng minh gồm 4 phần dài, mỗi phần lại dựa trên những tài liệu đồ sộ. “Nó có thể đòi hỏi sự đầu tư lớn thời gian để hiểu một chứng minh lâu dài và phức tạp, do đó, sự sẵn lòng của người khác để làm điều này, không chỉ dựa trên tầm quan trọng của thông báo mà còn trên hồ sơ theo dõi của các tác giả,”Conrad giải thích.

Hồ sơ theo dõi của Mochizuki chắc chắn làm cho những nỗ lực đáng giá. “Ông đã chứng minh định lý cực kỳ sâu sắc trong quá khứ, và rất kỹ lưỡng bằng văn bản của mình, do đó, cung cấp rất nhiều sự tự tin“, ôngConrad nhận định. “Khía cạnh thú vị là không chỉ là những phỏng đoán có thể đã được giải quyết, mà các kỹ thuật và kiến thức anh ta phải có để giới thiệu nên là những công cụ rất mạnh nhằm giải quyết các vấn đề trong lý thuyết số trong tương lai.”

Nguồn: http://diendantoanhoc.net…

This entry was posted in Bài Viết Tổng Hợp. Bookmark the permalink.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s